May 8

     ปัญหาสุด classic สมัยที่คุณๆ (รวมทั้งผมๆ) กำลังเรียนมัธยมต้น คงเคยเจอพบโจทย์แบบนี้บ้าง

วางเชือกยาว 8 เมตรเป็นสี่เหลี่ยมมุมฉากให้มีด้านกว้างและด้านยาวเท่าไร จึงทำให้เกิดพื้นที่มากที่สุด

     สำหรับตอนนี้ คุณอาจจะตอบได้ทันที (sense แรง) ว่า ก็วางให้เป็นสี่เหลี่ยมจตุรัสสิ จะได้มีพื้นที่มากที่สุด แต่เดี๋ยวก่อน คุณแน่ใจได้อย่างไรว่ามันมากที่สุดแล้ว post ครั้งนี้ ผมขอนำเสนอวิธีพิสูจน์เรื่องนี้ด้วยแนวคิดที่แตกต่างกันทั้งสิ้น 3 วิธี (แค่นำเสนอ idea ไม่ลงลึกครับเหมือนครั้งที่แล้ว)

     สมมติการวางเชือกดังรูป มีด้านด้านหนึ่งยาว x เมตร ดังนั้นมันจะบังคับให้ด้านอีกด้านหนึ่งยาว 4-x เมตร (อย่าลืมครับว่ามีด้านกว้าง 2 ด้าน ด้านยาว 2 ด้าน) พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่ได้ก็คือ x(4-x) เพื่อสะดวกในการเขียน ผมให้ y แทนพื้นที่ที่เกิดจากการล้อมเชือกโดยมีด้านด้านหนึ่งยาว x เมตร

ดังนั้น สมการที่ได้คือ y = x(4-x) = 4x - x^2

     เราจะเริ่มหาค่า y ที่มากที่สุด (พร้อมระบุค่า x ด้วย) ด้วยวิธีต่อไปนี้

  • วิธีที่ 1 สมบัติของ parabola

     หวังว่าคุณคงเคยได้ยินคำว่า parabola มาก่อนในชีวิต ถึงแม้ว่าลืมมันไปหมดแล้วก็ตาม เมื่อเราได้ความสัมพันธ์ข้างต้น วิธีพื้นฐานก็แค่นำมาเขียนกราฟ อาจจะเริ่ม sketch ด้วยการแทนค่าทีละจุดก็ได้ เราจะได้กราฟที่มีลักษณะดังข้างล่างนี้ ซึ่งทางเทคนิคแล้วเรียกว่ากราฟรูป parabola ครับ

     จากกราฟสามารถแปรความได้ว่า จุดบนสุด (เรียกว่าจุดยอด) ของกราฟก็คือจุดที่ค่า x ทำให้เกิดค่า y (พื้นที่) สูงสุดนั่นเอง ถ้าเราเปิดสูตรของ parabola ก็จะสามารถหาจุดยอดนั้นได้ ซึ่งก็คือ จุดที่ x =2,y=4 นั่นคือ เมื่อมีด้านด้านหนึ่งยาว 2 เมตร (ทำให้ด้านอีกด้านยาว 2 เมตรด้วย) จะทำให้เกิดสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีพื้นที่มากที่สุดคือ 4 ตารางเมตรนั่นเอง

  • วิธีที่ 2 อนุพันธ์ (derivatives)

     แนวคิดของอนุพันธ์นั้น คล้ายกับวิธีที่แล้วคือ หาจุดสูงสุดของกราฟ แต่วิธีนี้สามารถขยายเป็นหลักการทั่วไปได้มากกว่า และมีแนวคิดที่มาที่ไปลึกซึ้งกว่ามาก หากคุณยังพอจำได้ การหาค่าสูงสุดเราเพียงแค่หาอนุพันธ์และแก้สมการเมื่ออนุพันธ์เท่ากับ 0

y = 4x - x^2 ~doubleright~ dy/dx = 4 - 2x
dy/dx = 0 ~doubleright~ 4 - 2x = 0 ~doubleright~ x = 2

     ผลที่ได้เหมือนกัยวิธีที่แล้วคือ เมื่อ x=2 จะให้ค่า y สูงสุด เมื่อนำค่า x (ความยาวด้าน) ไปแทนหา y (พื้นที่) จะได้ y=4 เช่นเดียวกัน
* หมายเหตุ * วิธีหาค่าสูงสุดโดยใช้อนุพันธ์ มีการตรวจสอบรายละเอียดอื่นๆด้วย วิธีแสดงข้างต้นเพื่อให้ง่ายต่อความเข้าใจเท่านั้น

  • วิธีที่ 3 อสมการ A.M. - G.M.

     วิธีนี้อาจไม่พบเห็นกันบ่อยนักเนื่องจากไม่มีในหลักสูตรมัธยมศึกษาไทย แต่ความจริงแล้วมันแอบแทรก(เล็กๆ) อยู่ในเนื้อหาเรื่องสถิติ !! (ซะงั้น) ใช่แล้วครับ A.M. ย่อมากจาก Arithemetic Mean (ค่าเฉลี่ยเลขคณิต หรือที่ชาวบ้านเรียกกันติดปากว่า x bar นั่นเอง) ส่วน G.M. นั้นย่อมาจาก Geometric Mean (ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต) เราไม่ค่อยคุณเคยกับค่าเฉลี่ยตัวนี้เท่าไหร่ เพราะเราไม่ค่อยไปยุ่งเกี่ยวอะไรมากเกี่ยวกับการคำนวณเชิงเรขาคณิต

ตัวอย่าง

  • สมมติข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย 5, 4, 6
  • A.M. = (5+4+6)/3 = 5 ผลบวกของข้อมูลหารด้วยจำนวนข้อมูล
  • G.M. = root{3}{5*4*6} approx 4.9324ผลคูณขของข้อมูล แล้วถอดราก(รูท)ด้วยอันดับเท่ากับจำนวนข้อมูล

     นักสถิติทราบดีว่า A.M. มากกว่าหรือเท่ากับ G.M. เสมอ และ G.M. จะมากสุดได้เท่ากับค่า A.M. เมื่อข้อมูลทุกตัวมีค่าเท่ากัน (เป็นกรณีเดียวที่ G.M. มีค่าสูงสุด) ทฤษฎีบทนี้พบได้ในหนังสือเรียนสถิติทั่วไปครับ แต่ไม่มีการนำมาประยุกต์ใช้ในด้านนี้

ตัวอย่าง

  • สมมติข้อมูลชุดหนึ่งประกอบไปด้วย x และ 4 - x
  • A.M. = (x + 4 - x)/2 = 2
  • G.M. = sqrt{4x-x^2}

     ดังนั้นเราสรุปได้ว่า sqrt{4x-x^2} <= 2 เสมอ ซึ่งก็คือ sqrt{y}<=2 หรือ y<=4 นั่นเอง ส่วนค่า x ที่ทำให้ G.M. มีค่าสูงสุดก็คือ เมื่อ x = 4 - x (ข้อมูลทุกตัวมีค่าเท่ากัน) หรือ x=2 นั่นเอง

     โดยส่วนตัว ผมชอบวิธีสุดท้ายที่สุดครับ เพราะมันดูสะอาดกว่าวิธีที่ 2 และไม่ต้องปวดหัวกับสูตรเหมือนวิธีที่ 1 แต่วิธีนี้ต้องใช้ประสบการณ์และศิลปะพอสมควร ศิลปะแขนงนี้มีความประณีตทางความคิดอย่างยิ่ง สมัยที่ยังไม่มีเครื่องคำนวณไฟฟ้า อสมการมีการประยุกต์ใช้อย่างกว้างขวางและสวยงามยิ่ง ไม่ว่าจะในเรื่องหาค่าสูงสุดต่ำสุดหรือช่วยในการพิสูจน์ทฤษฎีบท แต่เแล้วเมื่อเครื่องคำนวณไฟฟ้าถือกำเนิดขึ้น วิชาเหล่านี้เหมือนถูกทอดทิ้ง เพราะมนุษย์ไม่สามารถใส่ศิลปะแขนงนี้ให้กับเครื่องคำนวณของพวกเขาได้ วิธีการทาง calculus ซึ่งเป็น algorithm มากกว่าจึงมีบทบาทมากขึ้นในเรื่องค่าสูงสุดต่ำสุด และเป็นที่รู้จักกันในหมู่วิศวกร!!

22/7 - pi ~=~ int{0}{1}{x^4(1-x)^4/(1+x)^2 dx} > 0

Posted in Mathematics | 5 Comments »
May 7

คำเตือน post ครั้งนี้ไม่เหมาะสมกับผู้อ่านทุกเพศทุกวัย post นี้อาจมีถ้อยคำ(วิชาการ)รุนแรง ผู้อ่านควรได้รับคำแนะนำจากเพื่อนใกล้ตัว

     เมื่อสองสามวันที่แล้ว ผมรู้สึกเบื่อๆ สมองมันว่างเปล่า (ไม่มีอะไรทำ จะว่างั้นก็ได้) เลยอยากจะหาอะไรมากระตุ้นการทำงานของ hypothalamus บังเอิญ(อย่างจงใจ)ไปเปิดสมุดทดเลขเลขในลิ้นชัก เห็นโจทย์ปัญหาหนึ่ง ที่ตั้งไว้เป็นชื่อ topic นั่นแหละครับ

Find all primes p,q such that p^2-p+1 = q^3

     จำได้ว่า เป็นปัญหาที่น้องบอม (mwit #15) เป็นคนถามปัญหานี้กับผมเมื่อปีที่แล้ว ผมใช้เวลาเกือบสามชั่วโมงในการแก้โจทย์นี้ ซึ่งนับว่านานมาก เพราะหากอยู่ในสนามแข่งขัน ก็น่าจะใช้เวลาไม่เกินครึ่งชั่วโมง ตอนนี้น้องเขาได้เข้ารอบสุดท้ายของการคัดตัวไปแข่งขัน IMO แล้ว (ขอแสดงความยินดีและอิจฉาด้วย)

     เรามาช่วยกันแก้ปัญหานี้กันเถอะ ถูกต้อง !!  คุณอ่านไม่ผิด ถ้าคุณเผลอตัวอ่านมาจนถึงตรงนี้แล้ว เราก็ลงมือกันเลย อันดับแรกครับ สิ่งที่ต้องทำคือการตีโจทย์ให้เจ็บ เอ้ย.. ให้แตกก่อน ให้หาจำนวนเฉพาะ p และ q ทั้งหมดซึ่ง p^2-p+1 = q^3 โจทย์นี้เข้าใจได้ไม่ยาก นั่นคือ

  • หาตัวเลขสองตัวมาแทนในสมการแล้วเป็นจริง
  • ตัวเลขสองตัวนั้นต้องเป็นจำนวนเฉพาะ
  • หาอีกจนหมด? เอ๊ะ.. มันจะหมดได้ยังงัยหว่า

     สิ่งแรกที่แว๊บเข้ามาในความคิดของผมก็คือ มันมีคำตอบจริงหรือ? (Existence) นี่เป็นคุณลักษณะที่ดีสำหรับคนที่จะเอาดีด้านคณิตศาสตร์ ก่อนที่จะลงมือหาอะไรซักอย่าง เราควรมีความมั่นใจก่อนว่า มันมีให้หาจริงๆ หลังจากที่ลองจิ้มเครื่องคิดเลขแทน p ด้วยจำนวนเฉพาะเล็กๆ ห้าหกตัวก็ไม่พบซักที ดังนั้นผมก็เริ่มทำการหา contradition ซะเลย นั่นคือพยายามหาข้อขัดแย้งในตัวสมการ ถามว่า เราจะทำให้ตัวสมการมันขัดแย้งกันเองได้อย่างไร มีหลายลักษณะครับ อย่างเช่น ด้านซ้ายของสมการให้ผลลัพท์เป็นเลขคู่เสมอ ในขณะที่ด้านขวาเป็นเลขคี่ หรือด้านขวาของสมการจะมากกว่าด้านซ้านเสมอ นี่เป็นแนวคิดเด็กๆ ที่อาจจะเป็นไปได้
  Read the rest of this entry »

Posted in Mathematics | 8 Comments »
Feb 10

Match the Boxes

     Attack this problem! Draw 3 lines to match the boxes corresponding to the letters without lines crossing. Of course, do not cross the border (dotted line) nor pass the little gaps between the border and the boxes - in fact, A, B  and C at the bottom and B at the top shall lie against the border but I just put a little gap there to make it look soften.
     Ready to get a dirt on your hands? No need a piece of paper, just try on your simple graphic editor like Paint(Windows). I now give you some time. How long do you take to solve it?

     This is one of the problems I can remember from the book “The Art and Craft of Problem Solving“, well written by Paul Zeitz - an American Mathimatical Olympiad representative in 1974. This problem is in the first few pages of the book to open up readers’ mind, and can be a really nice example of one of the problem-solving rules, “Make things simple“. In the book are also few more rules of thumb as people know but never ever try to, for example, ”Break the rule!“, “Think nothing“, “Know when to give up“. If you like problem solving (not problem making or trouble making), well, this book would be the one that I recommend - let’s say the most favorite Math book of mine.

     Now, before you read furthur, make sure that you have tried the problem above otherwise the solution might not impress you at all . Of course, your friends’ solution and yours probably differ, and the elegance of each solution certainly differs. The solution below, I guess, would be one of the most elegent ones.

Read the rest of this entry »

Posted in Mathematics | 8 Comments »

« Previous Entries